Abstract: The Hardy–Littlewood “circle” method has been used to prove some rather spectacular results about the primes. For example, every large odd number is the sum of three primes. I'll outline how the method works. I'll also explain its limitations – why, for example, can we not use it to prove the Goldbach conjecture, and why wasn't it directly helpful in proving that the primes contain long arithmetic progressions?
Abstract: The Selberg sieve may be regarded, in its simplest form, as a construction of a function F which majorises the primes (so F(n)≥0 always, and F(n)≥1 if n is a prime), yet which can be analysed much more easily than the primes themselves. Functions F like this were used by Tao and I in our proof (which is the subject of the third lecture) that the primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In this lecture I'd like to describe a recent, very spectacular result of Goldston, Pintz and Yildirim, which states that there are infinitely many pairs of “unusually close” primes p, p′ with p−p′=o(log p). Note that the average spacing between primes is log p. The proof of this result uses ideas related to the Selberg sieve.
Abstract: I'll outline the proof, due to T. Tao and myself, that the primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Recent progress (for example concerning asymptotics for the number of such progressions) will be mentioned.
Sammendrag: Alle «vet» at Plancks konstant er liten, lyshastigheten er stor, havet er dypt og Corioliskraften er svak. Men det siste eksemplet til tross, «vet» alle også at vannet renner ut av badekaret i motsatt rettet spiralbevegelse på den nordlige og sørlige halvkule. Hvorfor er Corioliskraften for liten til å ha noen innvirkning i badekaret, og likevel stor nok til totalt å dominere værfenomener som Katrina?
Med disse og andre eksempler vil jeg prøve å forklare hvordan skalering i matematiske modeller hjelper oss å se forskjell på smått og stort.
Sammendrag. I denne første delen blir algebraiske regnemetoder og løsning av ligninger fulgt fra sumererne og babylonerne, gjennom Kina og India til Hellas, hellenistisk tid og til araberne som skapte algebraen slik vi langt på vei kjenner den i dag.
Sammendrag. I andre del begynner vi med arabernes lærling, Leonardo fra Pisa og hans regnebok. Gjenfødelsen av matematikken i Europa leder oss via de italienske regnemestrene til del Ferro, Tartaglia, Cardano og Ferrari og deres arbeid med algebraiske ligninger. Algebraisk notasjon transformerer den oratoriske algebraen til algebra slik vi kjenner den i dag. Fermat og Descartes fører arabernes algebra videre, ligningsteorien blomstrer med Lagrange og når et høydepunkt med Abel og Galois. Det store uløste problemet med Fermats Store Sats blir løst av Andrew Wiles i en mektig syntese av algebra, tallteori og geometri. Hva nå?
Sammendrag: Trokoidekurver fremkommer når en sirkel ruller på en faststående sirkel. Da vil et punkt festet til den bevegelige sirkelen beskrive en trokoide. Eksempler på slike er asteroiden, kardiodien og sykloiden (i det siste tilfellet er den faststående sirkelen en rett linje). Trokoidekurvene har vært studert siden antikken (episyklene til Ptolomeus), men det var først med integral- og differensialregningen at deres egenskaper ble fullstendig kartlagt. Vi skal demonstrere noen av de mange anvendelsene trokoidekurven har, både geometriske og mekaniske. Vi vil visualisere dette med Maple som dataverktøy.
Sammendrag: I algebraisk topologi studerer man fundamentalgruppen til rom gitt ved homotopier eller deformasjoner av kontinuerlige avbildninger. Et eksempel er fundamentalgruppen til sirkelen som er lik heltallene. Med utgangspunkt i dette resultatet kan man f.eks. bevise algebraens fundamentalteorem om nullpunkter til komplekse polynomer.
I senere tid er det blitt etablert et nytt felt av matematikken som gjerne kalles motivisk algebraisk topologi eller algebraisk topologi for nullpunktsmengder av polynomer. Spesielt er det mulig å studere homotopier mellom avbildninger i en algebraisk geometrisk situasjon.
Det første foredraget handler om homotopier mellom topologiske rom, mens vi i det andre foredraget vil snakke om motiviske homotopier.